Des Suites géométriques
Bonjour
Définition :
Dire qu'une suite u est géométrique signifie qu'il existe un nombre q tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q × un. Le nombre q est appelé la raison de la suite (un).
Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite géométrique au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q.
Exemples :
1) La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32,... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
2) La suite v définie pour tout n appartenant à ℕ par vn = : 1, , , , ... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison
3) Soit w la suite définie pour tout entier naturel n par wn = 2 × 3n.
wn+1 = 2 × 3n+1 = 2 × 3n × 3 = wn × 3
De plus w0 = 2, donc w est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
Dire qu'une suite u est géométrique signifie qu'il existe un nombre q tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q × un. Le nombre q est appelé la raison de la suite (un).
Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite géométrique au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q.
Exemples :
1) La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32,... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
2) La suite v définie pour tout n appartenant à ℕ par vn = : 1, , , , ... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison
3) Soit w la suite définie pour tout entier naturel n par wn = 2 × 3n.
wn+1 = 2 × 3n+1 = 2 × 3n × 3 = wn × 3
De plus w0 = 2, donc w est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
Formule explicite :
Pour calculer un terme d'une suite géométrique avec la définition par récurrence, il est nécessaire de connaître le terme précédent. La propriété suivante permet de trouver une formule explicite.
Si u est une suite géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n et p :
Illustration
En particulier, si p = 0, pour tout entier naturel n, on a :
Illustration
Exemples :
1) Soit u la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u0=4. Calculer u7.
D'après la deuxième formule, u7 = u0 × q7 = 4 × 37 = 4 × 2187 = 8748.
2) Soit v la suite géométrique de raison q= telle que u6=512. Calculer u9.
D'après la première formule, u9 = u6 × q9-6 = 512 × = 512 × = 64.
Pour calculer un terme d'une suite géométrique avec la définition par récurrence, il est nécessaire de connaître le terme précédent. La propriété suivante permet de trouver une formule explicite.
Si u est une suite géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n et p :
un = up × qn-p
Illustration
En particulier, si p = 0, pour tout entier naturel n, on a :
un = u0 × qn
Illustration
Exemples :
1) Soit u la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u0=4. Calculer u7.
Réponse :
D'après la deuxième formule, u7 = u0 × q7 = 4 × 37 = 4 × 2187 = 8748.
2) Soit v la suite géométrique de raison q= telle que u6=512. Calculer u9.
Réponse :
D'après la première formule, u9 = u6 × q9-6 = 512 × = 512 × = 64.
Somme des termes d'une suite géométrique :
I) Somme des puissances successives :
Pour tout entier naturel n non nul, si q ≠ 1, on a :
Démonstration :
On écrit sur une ligne la somme des termes dans l'ordre croissant, puis sur une seconde ligne, on écrit le produit de cette somme par q et on soustrait membre à membre les deux égalités.
Donc S(1-q) = 1 - qn+1 et comme q ≠ 1, .
Exemple :
S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 28
.
II) Somme des termes d'une suite géométrique :
Soit u une suite géométrique. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est égale à :
Exemple :
Soit u la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 3.
Calculer la somme S = u0 + u1 + u2 + ... + u6.
.
I) Somme des puissances successives :
Pour tout entier naturel n non nul, si q ≠ 1, on a :
.
Démonstration :
On écrit sur une ligne la somme des termes dans l'ordre croissant, puis sur une seconde ligne, on écrit le produit de cette somme par q et on soustrait membre à membre les deux égalités.
S | = | 1 | + | q | + | q2 | + | ... | + | qn | |||
+ | qS | = | q | + | q2 | + | ... | + | qn | + | qn+1 | ||
S - | qS | = | 1 | + | 0 | + | 0 | + | ... | + | 0 | - | qn+1 |
Donc S(1-q) = 1 - qn+1 et comme q ≠ 1, .
Exemple :
S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 28
.
II) Somme des termes d'une suite géométrique :
Soit u une suite géométrique. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est égale à :
.
Exemple :
Soit u la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 3.
Calculer la somme S = u0 + u1 + u2 + ... + u6.
Réponse :
.
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