Cours de maths

Cours de maths : Equations et inéquations du second degré

Equations du second degré

Définition :
Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 de la forme :
$f\left(x\right)=ax\mathrm{²}+bx+c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont trois réels avec $a$ ≠ 0.
Le nombre réel Δ, égal à $b\mathrm{²}-4ac$ est appelé le discriminant de $f$.

Propriété :
• Si Δ < 0 , alors l'équation $f\left(x\right)=0$ n'admet aucune solution réelle.
$f$ ne peut pas s'écrire sous forme factorisée.

• Si Δ = 0 , alors l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $x_0=\frac{\mathrm{-b}}{2a}$ .
La forme factorisée de $f$ est $f\left(x\right)=a(x-x_0)\mathrm{²}$

• Si Δ > 0 , alors l'équation $f\left(x\right)=0$ a deux solutions $x_1=\frac{\mathrm{-b}-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ et $x_2=\frac{\mathrm{-b}+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$.
La forme factorisée de $f$ est $f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Remarques :
• Les solutions de l'équation $ax\mathrm{²}+bx+c=0$ sont appelées racines du trinôme $ax\mathrm{²}+bx+c$
• Les solutions, lorsqu'elles existent, sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisse (voir tableau).

Si Δ>0

Si Δ=0

Si Δ<0

Exemples :

a) Résoudre l'équation 2x² - 5x - 3 = 0

Solution :

a = 2 , b = -5 et c = -3.
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4×2×(-3)
Δ = 25-(-24) = 25+24 = 49
Δ > 0, donc l'équation admet 2 solutions.
$x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2\times 2}$
$x_1=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$

$x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2\times 2}$
$x_2=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$

L'équation 2x² - 5x - 3 = 0 admet deux solutions : -1/2 et 3.

2x² - 5x - 3=2(x+1/2)(x-3).

b) Résoudre l'équation 9x² - 12x + 4 = 0

Solution :

a = 9 , b = -12 et c = 4.
Δ = b² - 4ac
Δ = (-12)² - 4×9×4
Δ = 144-144 = 0
Δ = 0, donc l'équation admet 1 solution.
$x_0=\frac{12}{2\times 9}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
L'équation 9x² - 12x + 4 = 0 admet une solution : 2/3
9x² - 12x + 4 = 9(x - 2/3)².

c) Résoudre l'équation x² + 2x + 5 = 0

Solution :

a = 1 , b = 2 et c = 5.
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4×1×5
Δ = 4 - 20 = -16
Δ < 0, donc l'équation n'admet aucune solution réelle.